隐函数73x²+34y²+20z²=22的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数73x²+34y²+20z²=22的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵73x²+34y²+20z²=22,

∴146xdx+68ydy+40zdz=0，即：

20zdz=-73xdx-34ydy,

dz=-73xdx/20z-17ydy/10z，所以：

dz/dx=-73x/20z，dz/dy=-17y/10z。

2、直接求导法：

73x²+34y²+20z²=22,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

146x+0+40zdz/dx=0

20zdz/dx=-73x，即：dz/dx=-73x/20z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+68y+40zdz/dy=0

20zdz/dy=-34y，即：dz/dy=-17y/10z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=73x²+34y²+20z²-22，则：

Fz=40z，Fx=146x，Fy=68y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-146x/40z=-73x/20z;

dz/dy=-Fy/Fz=-68y/40z=-17y/10z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-73x/20z，

∴∂²z/∂²x=-73/20*(z+xdz/dx)/z²

=-73/20*(z+73x²/20z)/z²

=-73/400*(20z²+73x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-17y/10z.

∴∂²z/∂²y=-17/10*(z+ydz/dy)/z²

=-17/10*(z+17y²/10z)/z²

=-17/100*(10z²+17y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-73x/20z，dz/dy=-17y/10z.

∴∂²z/∂x∂y =73/20*(xdz/dy)/z²

=73/20*(-17xy/10z)/z²

=-1241/200*xy/z³.

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除