隐函数19x²+35y²+47z²=34的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数19x²+35y²+47z²=34的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵19x²+35y²+47z²=34,

∴38xdx+70ydy+94zdz=0，即：

47zdz=-19xdx-35ydy,

dz=-19xdx/47z-35ydy/47z，所以：

dz/dx=-19x/47z，dz/dy=-35y/47z。

2、直接求导法：

19x²+35y²+47z²=34,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

38x+0+94zdz/dx=0

47zdz/dx=-19x，即：dz/dx=-19x/47z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+70y+94zdz/dy=0

47zdz/dy=-35y，即：dz/dy=-35y/47z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=19x²+35y²+47z²-34，则：

Fz=94z，Fx=38x，Fy=70y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-38x/94z=-19x/47z;

dz/dy=-Fy/Fz=-70y/94z=-35y/47z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-19x/47z，

∴∂²z/∂²x=-19/47*(z+xdz/dx)/z²

=-19/47*(z+19x²/47z)/z²

=-19/2209*(47z²+19x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-35y/47z.

∴∂²z/∂²y=-35/47*(z+ydz/dy)/z²

=-35/47*(z+35y²/47z)/z²

=-35/2209*(47z²+35y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-19x/47z，dz/dy=-35y/47z.

∴∂²z/∂x∂y =19/47*(xdz/dy)/z²

=19/47*(-35xy/47z)/z²

=-665/2209*xy/z³.

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