已知x^2+y^2+z^2=2,求2x+2y+z的最大值

通过柯西不等式和多元函数最值法介绍代数式2x+2y+z在x^2+y^2+z^2=2条件下的最大值。

方法/步骤

1、思路一：柯西不等式法

∵(2x+2y+z)^2≤(2^2+2^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)

∴(2x+2y+z)^2≤9*2

即：

(2x+2y+z)max=3√2.

2、思路二：多元函数最值法

设F(x,y,z)=2x+2y+z-λ(x^2+y^2+z^2-2),则：

F’x=2-2λx,F’y=2-2λy,F’z=1-2λz,

F’λ=x^2+y^2+z^2-2。

令F’x=F’y=F’z=F’λ=0，则：

x=1/λ,y=1/λ,z=1/2λ。

3、即(1/λ)^2+(1/λ)^2+(1/2λ)^2=2,解得：

4λ^2=9/2,即2λ=±√9/2.

此时2x+2y+z=(2^2+2^2+1^2)/2λ,

所以：(2x+2y+z)max=9/√(9/2)=3√2。

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