已知x^2+y^2=11,求(x-y)^2最大值步骤过程

已知x2+y2=11,介绍通过等式变换、三角换元、判别式法、中值替换等方法求(x-y)2的最大值的步骤。

方法/步骤

1、思路一：等式变换

因为(x-y)2=x2+y2-2xy

又：(x+y)2=x2+y2+2xy

所以两式相加得：

(x-y)2+(x+y)2=2(x2+y2),

等式变换得：

(x-y)2=2(x2+y2)-(x+y)2

即：(x-y)2=22-(x+y)2≤22,

则(x-y)2的最大值=22。

2、思路二孝宙：三角换元法

设x=sint,y=cost，则：

(x-y)2

=x2-2xy+y2

=(sint)2+(cost)2-2*sint*cost

=11-11sin2t

=11(1-sin2t)

即：

(x-y)2的板温近最大值=11*[1-(-1)]=22。

3、思路三：判别式法

设x-y=t，则y=x-t,代入已知条件得：

x2+(x-t)2=11

x2+x2-2xt+t2-11=0

2×2-2xt+t2-11=0,

把方程看成x的二次方程，则：

判别式匠搁△=4t2-8(t2-11)≥0，即：

t2≤22，

故(x-y)2=t2的最大值=22。

4、思路四：中值替换法

设x2=11/2+t,y2=11/2-t,

代入所求代数式得：

(x-y)2的最大值

=x2-2xy+y2,当xy乘积为负数时，有最大值。

=11/2+t+2√[(11/2+t)(11/2-t)]+11/2-t

=11+2√[(112/4-t2)]

≥11+11=22。

5、思路五：不等式法

因为(x-y)2=x2-2xy+y2

=11-2xy.

当x，y异号时xy最小，则(x-y)2有最大值。

又因为:

x2+y2

=11≥2xy,

则2xy的最小值=-11。

所以(x-y)2的最大值=11-(-11)=22。

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