隐函数3x²+22y²+80z²=16的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数3x²+22y²+80z²=16的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵3x²+22y²+80z²=16,

∴6xdx+44ydy+160zdz=0，即：

80zdz=-3xdx-22ydy,

dz=-3xdx/80z-11ydy/40z，所以：

dz/dx=-3x/80z，dz/dy=-11y/40z。

2、直接求导法：

3x²+22y²+80z²=16,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

6x+0+160zdz/dx=0

80zdz/dx=-3x，即：dz/dx=-3x/80z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+44y+160zdz/dy=0

80zdz/dy=-22y，即：dz/dy=-11y/40z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=3x²+22y²+80z²-16，则：

Fz=160z，Fx=6x，Fy=44y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-6x/160z=-3x/80z;

dz/dy=-Fy/Fz=-44y/160z=-11y/40z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-3x/80z，

∴∂²z/∂²x=-3/80*(z+xdz/dx)/z²

=-3/80*(z+3x²/80z)/z²

=-3/6400*(80z²+3x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-11y/40z.

∴∂²z/∂²y=-11/40*(z+ydz/dy)/z²

=-11/40*(z+11y²/40z)/z²

=-11/1600*(40z²+11y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-3x/80z，dz/dy=-11y/40z.

∴∂²z/∂x∂y =3/80*(xdz/dy)/z²

=3/80*(-11xy/40z)/z²

=-33/3200*xy/z³.

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