求z=f(24xy,x^2+y^2,2y)的二阶偏导数过程

主要内容：

本文通过全微分、链式求导法等方法，介绍计算抽象函数z= f(24xy,x^2+y^2,2y)的所有二阶偏导数的具体步骤。

方法/步骤

1、一阶偏导数计算：

z=f(24xy,x^2+y^2,2y)，用全微分求导法，则有：

dz=24f1′(ydx+xdy)+f2′(2xdx+2ydy)+2f3’dy，即：

dz=24yf1’dx+24xf1’dy+2xf2’dx+2yf2’dy+2f3’dy，

dz=(24yf1’+2xf2′)dx+(24xf1’+2yf2’+2f3′)dy。

则z对x的一阶偏导数为：

∂z/∂x=24yf1’+2xf2′;

同理，z对y的一阶偏导数为：

∂z/∂y=24xf1’+2yf2’+2f3’。

2、二阶偏导数求解：

因为∂z/∂x =24yf1’+2xf2’，再次对x求导，

所以∂^2z/∂x^2

=24y(f11”*24y+f12”*2x)+2f2’+2x(f21”24y+f22”*2x),

=576y^2f11”+96xyf12”+2f2’+4x^2f22”,

3、因为∂z/∂y=24xf1’+2yf2’+2f3’，再次对y求导，

所以∂^2z/∂y^2

=24x(f11”*24x+f12”*2y+f13”*2)+2f2’+2y(f21”*24x+f22”*2y+f23”*2)+2(f31”*24x+f32”*2y+f33”*2)

=576x^2f11”+48xyf12”+48xf13”+2f2’+48xyf12”+4y^2f22”+4yf23”+48xf31”+f32”*4y+4f33”,

=576x^2f11”+96xyf12”+2f2’+96xf13”+4y^2f22”+8yf23”+4f33”.

4、因为∂z/∂y =24xf1’+2yf2’+2f3’，再次对x求导，

所以∂^2z/∂y∂x

=24f1’+24x(f11”*24y+f12”*2x)+2y(f21”*24y+f22”*2x)+2(f31”*24y+f32”*2x)

=24f1’+576xyf11”+48x^2f12”+48y^2f12”+4xyf22”+48yf31”+96xf32”,,

=24f1’+576xyf11”+48(1x^2+y^2)f12”+4xyf22”+48yf31”+96xf32”。

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