隐函数44x²+83y²+8z²=68的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数44x²+83y²+8z²=68的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵44x²+83y²+8z²=68,

∴88xdx+166ydy+16zdz=0，即：

8zdz=-44xdx-83ydy,

dz=-11xdx/2z-83ydy/8z，所以：

dz/dx=-11x/2z，dz/dy=-83y/8z。

2、直接求导法：

44x²+83y²+8z²=68,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

88x+0+16zdz/dx=0

8zdz/dx=-44x，即：dz/dx=-11x/2z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+166y+16zdz/dy=0

8zdz/dy=-83y，即：dz/dy=-83y/8z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=44x²+83y²+8z²-68，则：

Fz=16z，Fx=88x，Fy=166y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-88x/16z=-11x/2z;

dz/dy=-Fy/Fz=-166y/16z=-83y/8z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-11x/2z，

∴∂²z/∂²x=-11/2*(z+xdz/dx)/z²

=-11/2*(z+11x²/2z)/z²

=-11/4*(2z²+11x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-83y/8z.

∴∂²z/∂²y=-83/8*(z+ydz/dy)/z²

=-83/8*(z+83y²/8z)/z²

=-83/64*(8z²+83y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-11x/2z，dz/dy=-83y/8z.

∴∂²z/∂x∂y =11/2*(xdz/dy)/z²

=11/2*(-83xy/8z)/z²

=-913/16*xy/z³.

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