用导数等工具计算三次根式3√2034近似值的步骤

本文主要通过穿插法、微分法、导数法以及泰勒公式法，介绍计算三次根式3√2034近似值的主要步骤。

主要方法与步骤

1、所谓近似计算就是将原本非常繁杂的直接计算化简为与之在理论上相差不大的另外角度进行计算。

2、设³√2034=x，并找与之最近的两个立方数，有：

³√1728=12,

³√2034=x,

³√2197=13,用线性穿插得：

(2034-1728)/(2197-2034)=(x-12)/(13-x)

306(13-x)=163(x-12)

469x=5934

x=5934/469≈12.6524.

3、∵dy=f'(x)dx，f(x)=³√x，

∴dy=dx/(3*³√x²），

对于本题有：

³√2034-³√2197=(2034-2197)/(3*³√21972)

³√2034=³√2197-163/(3*132)

³√2034=13-163/507

≈12.6785.

4、原理：当x趋近无穷小时，有(1±x)a≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

³√2034=³√(2197-163）

³√2034=³√[2197(1-163/2197）]

=13*³√(1-163/2197）

=13*[1-163/(3*2197)]

=13-163/507

≈12.6785.

5、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)(x-x0)/1!+f”(x0)(x-x0)²/2!+O(x3)

∴f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f”(x0)(x-x0)²/2+O(x3)

其中O(x3)表示x的三次无穷小。

本题涉及幂函数y=f(x)=³√x,有：

f'(x)=(1/3)x-2/3,f”(x)=-(2/9)x-5/3。

即：

f(x)≈f(x0)+(1/3)x0-2/3*(x-x0)-(1/9)x0-5/3*(x-x0)²。

6、对于本题，x=2034，x0=2197,x-x0=-163,代入得：

³√2034

≈f(x0)+(1/3)x0-2/3*(x-x0)-(1/9)x0-5/3*(x-x0)²

≈³√2197+(1/3)2197-2/3*(2034-2197)-(1/9)2197-5/3*(2034-2197)²

≈³√2197+(1/9)2197-5/3*(2034-2197)(4*2197-2034)

≈13-163*6754/(9*135)。

即：

³√2034≈12.6705。

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