如果x在0之1之间,求函数y=x(1-4x)的最大值

     本文通过二次函数图像法、均值不等式法和函数导数法，介绍已知当0＜x＜1时，求函数y=x(1-4x)的最大值的主要步骤。

主要方法与步骤

1、因为y=x(1-4x)，所以y=x-4x^2=-4x^2+x,

其对称轴x=b/2a=-1/2*(-4)=1/8∈(0,1),

该二次函数的开口向下，所以在对称轴处取得最大值，则：

ymax=f(1/8)

=(1/8)*(1-1/8)

=1/16.

2、二次函数y=x(1-4x)的图像示意图。

3、由不等式ab≤(a+b)^2，a，b∈R+知：

y=x(1-4x)=1/4*4x(1-4x)

≤1/4*{[x+(1-x)4]/2}^2

=1/4*( 1/2)^2=1/16.

4、求出函数y=x(1-4x)的一阶导数，通过函数的一阶导数，判断函数的单调性，进而求出函数的最大值。

5、如果函数y=f(x)在区间D内可导，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

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