隐函数78x^40x+48e^85y=17x^53y的导数计算

     本文主要通过链式求导、全微分求导和函数求导法则，介绍隐函数78x^40x+48e^85y=17x^53y的导数计算的主要过程和步骤。

主要方法与步骤

1、78x^40x+48e^85y=17x^53y,

隐函数变形有：

78e^(40xlnx)+ 48e^85y=17e^(53ylnx)

两边同时求导有：

78e^(40xlnx)*(40lnx+40x/x)+48e^85y*85y’=17e^(53ylnx)*(53y’lnx+53y/x),

3120e^(40xlnx)*(lnx+1)+4080e^85y*y’=901e^(53ylnx)*(y’lnx+y/x),

y’=[901e^(53ylnx)*y/x-3120e^(40xlnx)*(lnx+1)]/[ 4080e^85y-901e^(53ylnx)lnx]

=[901e^(53ylnx)*y/x-3120e^(40xlnx)*(lnx+1)]/[4080e^85y-901e^(53ylnx)lnx]

=[901*x^53y*y/x-3120*x^40x*(lnx+1)]/( [4080e^85y-901*x^53ylnx)

=[901*y*x^(53y-1) -3120*x^40x*(lnx+1)]/( 4080e^85y-901*x^53ylnx)。

2、※.全微分法求导

隐函数变形为：

78e^(40xlnx)+48e^85y=17e^(53ylnx)，

使用全微分计算法，有：

78e^(40xlnx)*(40lnxdx+40dx)+4080*e^85ydy=17e^(53ylnx)*(53lnxdy+53ydx/x)

3120*e^(40xlnx)*(lnx+1)dx+4080*e^85ydy=901*e^(53ylnx)*lnxdy+901*e^(53ylnx)ydx/x

3、[4080*e^85y-901*e^(53ylnx)*lnx]dy=[901*e^(53ylnx)y/x-3120*e^(40xlnx)*(lnx+1)]dx

[4080*e^85y-901*x^53y*lnx]dy=[901*yx^(53y-1)- 3120*x^40x*(lnx+1)]dx

所以：dy/dx=[901*yx^(53y-1)- 3120*x^40x*(lnx+1)] / [4080*e^85y-901*x^53y*lnx]

=[901*y*x^(53y-1) -3120*x^40x*(lnx+1)]/( 4080e^85y-901*x^53ylnx)。

4、设F(x,y)=78x^40x+48e^85y-17x^53y，则F对x,y的偏导数有：

F’x=78e^(40xlnx)*(40lnx+40)-17e^(53ylnx)*53y/x

=3120*e^(40xlnx)(lnx+1)-901*x^53y*y/x

=3120*x^40x*(lnx+1)-901*y*x^(53y-1),

F’y=4080*e^85y-17e^(53ylnx)* 53lnx

=4080*e^85y-901*x^53y*lnx。

5、此时所求函数y对x的导数有：

y’=-F’x/ F’y

=-[3120*x^40x*(lnx+1)- 901*y*x^(53y-1)]/(4080*e^85y-901*x^53y*lnx),

=[901*y*x^(53y-1) -3120*x^40x*(lnx+1)]/(4080e^85y-901*x^53ylnx)。

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