不定积分∫89x³/√46-15x²的计算过程

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫89x³/√46-15x²dx的计算步骤。

方法/步骤

1、介绍通过分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，计算不定积分的详细过程与步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(13/8)[x(15-24x^2)-15x]dx/√(15-24x^2)

=-(13/8)∫x(15-24x^2)dx/√(15-24x^2)+ (195/8)∫xdx/√(15-24x^2)

=-(13/8)∫x√(15-24x^2)dx-(585/2)*1/24^2∫d(15-24x^2)/√(15-24x^2)

=-39*1/24^2∫√(15-24x^2)d(15-24x^2)- 585*1/24^2√(15-24x^2)

=26*1/24^2√(15-24x^2)^3-585*1/24^2*√(15-24x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=39∫x^2*xdx/√(15-24x^2)

   =-(13/16)∫x^2d(15-24x^2)/√(15-24x^2)

   =-(13/16)∫x^2d√(15-24x^2)=-(13/16)x^2√(15-24x^2)+(13/16) ∫√(15-24x^2)dx^2

   =-(13/16)x^2√(15-24x^2)-(39/2)*1/24^2∫√(15-24x^2)d(15-24x^2)

   =-(13/16)x^2√(15-24x^2)-13*1/24^2√(15-24x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(5/8)sint，则cost=(1/√15)√(15-24x^2),此时：

I=(585/24)*√(5/8)∫sin^3td[√(5/8)sint]/√(15-15sin^2t),

=39*(5/8)^2∫sin^3tcostdt/√15*cost,

=(585√15 /24^2)∫sin^3tdt,

=(585√15 /24^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

. 

5、=(585√15 /24^2)∫sintdt-(585√15 /24^2)∫sintcos^2 tdt

=-(585√15 /24^2)cost+(585√15 /24^2)∫cos^2tdcost=-(585√15 /24^2)cost+(585√15 /3*24^2)cos^3t+c

 =-(585/24^2)√(15-24x^2)+13*(1/24^2)√(15-24x^2)^3+c

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