高数不定积分77x³/√3-76x²的计算步骤

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=77x³/√3-76x²dx的计算步骤。

方法/步骤

1、介绍通过分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，计算不定积分的详细过程与步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(77/76)[x(3-76x^2)-3x]dx/√(3-76x^2)

=-(77/76)∫x(3-76x^2)dx/√(3-76x^2)+ (231/76)∫xdx/√(3-76x^2)

=-(77/76)∫x√(3-76x^2)dx-(231/2)*1/76^2∫d(3-76x^2)/√(3-76x^2)

=-77*1/76^2∫√(3-76x^2)d(3-76x^2)- 231*1/76^2√(3-76x^2)

=(154/3) *1/76^2√(3-76x^2)^3-231*1/76^2*√(3-76x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=77∫x^2*xdx/√(3-76x^2)

   =-(77/152)∫x^2d(3-76x^2)/√(3-76x^2)

   =-(77/152)∫x^2d√(3-76x^2)=-(77/152)x^2√(3-76x^2)+(77/152) ∫√(3-76x^2)dx^2

   =-(77/152)x^2√(3-76x^2)-(77/2)*1/76^2∫√(3-76x^2)d(3-76x^2)

   =-(77/152)x^2√(3-76x^2)-(77/3)*1/76^2√(3-76x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(3/76)sint，则cost=(1/√3)√(3-76x^2),此时：

I=(231/76)*√(3/76)∫sin^3td[√(3/76)sint]/√(3-3sin^2t),

=77*(3/76)^2∫sin^3tcostdt/√3*cost,

=(231√3 /76^2)∫sin^3tdt,

5、=(231√3 /76^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(231√3 /76^2)∫sintdt-(231√3 /76^2)∫sintcos^2 tdt

=-(231√3 /76^2)cost+(231√3 /76^2)∫cos^2tdcost=-(231√3 /76^2)cost+(231√3 /3*76^2)cos^3t+c

 =-(231/76^2)√(3-76x^2)+(77/3)*(1/76^2)√(3-76x^2)^3+c. 

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