四种方法计算√14822的近似值步骤

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

方法/步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√14822=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√14641=121,

√14822=x,

√14884=122,用线性穿插得：

(14822-14641)/(14884-14822)=(x-121)/(122-x)

181(122-x)=62(x-121)

243x=29584

x=29584/243≈121.7449.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√14822-√14641=(14822-14641)/(2√14641)

√14822=√14641+181/(2*121)

√14822=121+181/242≈121.7479.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√14822=√(14641+181）

√14822=√[14641(1+181/14641）]

=121√(1+181/14641）

=121*[1+181/(2*14641)]

=121+181/242≈121.7479.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

对于本题，x=14822，x₀=14641,x-x₀=181,代入得：

√14822

≈√14641+(181/2)*14641^(-1/2)-(1/8)*181²*14641^(-3/2)

≈121+(181/2)*121⁻¹-(1/8)*181²*121⁻³

≈121+181/242-181²/(8*121³)

即：√14822≈121.7456。

6、结论拓展分析：

1.本次近似计算以保留四位小数为主，从精确度来看，精确度最高的是泰勒展开式法，其次是线性穿插法。

2.所求的某个数a的算术平方根，由于与a相邻有两个可开方数，一般在近似计算中选取与之最近的一个可开方数。

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