详细解析方程曲线y=e^(237x+43y)图像画法过程

    本经验通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性等，介绍函数y=e^(237x+43y)的图像的主要步骤。

方法/步骤

1、※.方程曲线的定义域

方程曲线表达式为y=e^(237x+43y),即y>0,取对数有：

lny=237x+43y，则：237x=lny-43y.

设237x=F(y)=lny-43y,把y看成自变量，求导得：

F'(y)=(1/y)-43=(1-43y)/y.

令F'(y)=0，则y=1/43≈0.023.

1)当0<y0;

2)当y>1/43时，F'(y)<0。

所以，当y=1/43时，F(y)有最大值，即：

237x≤F(y)max=-(1+ln43)

x≤-(1+ln43)/237≈-0.020.

即方程曲线的定义域为：(-∞，-0.020]。

2、※.方程曲线的单调性

对方程两边同时对x求导，得：

y=e^(237x+43y)

y’=e^(237x+43y)(237+43y＇)

y’=237e^(237x+43y)/[1-43e^(237x+43y)]

即：y’=237y/(1-43y).

导数y’的符号与(1-43y)的符号一致，方程曲线的单调性为：

(1).当y∈(0,1/43]时，y’＞0，此时方程y随x的增大而增大；

(2).当y∈(1/43,+∞）时，y’＜0，此时方程y随x的增大而减小。

3、※.方程曲线的凸凹性

∵y’=-237y/(43y-1)，

∴y”=-237[y'(43y-1)-43yy’]/(43y-1)²

=-237y’/(43y-1)²

=237²y/(1-43y)³，则y”的符号与(1-43y)的符号一致。

方程曲线的凸凹区间为：

(1)当y∈(0,1/43]时，y”＞0，此时方程曲线y为凹曲线;

(2)当y∈(1/43,+∞）时，y”＜0，此时方程曲线y为凸曲线。

4、   二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y’=f'(x)仍然是x的函数，则y’=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。

      如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f”(x)<=0。

5、※.函数的图像示意图

函数上部分点解析如下表所示，综合函数的单调性和凸凹性，并结合函数的定义域，即可画出函数的图像示意图。

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