解析函数性质并画函数y=√x(55x+82.x)的图像

本文主要介绍根式分式复合函数的定义域、值域、单调和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间，画出y=√x(55x+82/x)的图像。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对82/x有x≠0.∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、定义域是指该函数的有效范围，函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。

3、※.函数的单调性

∵y=√x(55x+82/x)

=55x^(3/2)+82x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*55x^(1/2)-(82/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*55x²-82).

令dy/dx=0,则x²=82/165.

又因为x>0，则x=(1/165)√13530≈0.70.

(1)当x∈(0, (1/165)√13530)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(1/165)√13530,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

4、 如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

5、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*55x²-82)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*55x²-82)+3*55x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*55x²-82)+3*55x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*55x²-82-4*55x²)

=3/4x^(-5/2)(55x²+82)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

6、如果一个函数f(x)在某个区间I上有f”(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图像都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

7、※.函数的极限

Lim(x→0) √x(55x+82/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(55x+82/x)=+∞。

8、综合以上函数的性质，函数的示意图如下：

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