计算√13160的近似值步骤

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

主要方法步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√13160=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√12996=114,

√13160=x,

√13225=115,用线性穿插得：

(13160-12996)/(13225-13160)=(x-114)/(115-x)

164(115-x)=65(x-114)

229x=26270

x=26270/229≈114.7162.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√13160-√12996=(13160-12996)/(2√12996)

√13160=√12996+164/(2*114)

√13160=114+41/57≈114.7193.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√13160=√(12996+164）

√13160=√[12996(1+164/12996）]

=114√(1+164/12996）

=114*[1+164/(2*12996)]

=114+41/57≈114.7193.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

对于本题，x=13160，x₀=12996,x-x₀=164,代入得：

√13160

≈√12996+82*12996^(-1/2)-(1/8)*164²*12996^(-3/2)

≈114+82*114⁻¹-(1/8)*164²*114⁻³

≈114+41/57-164²/(8*114³)

即：√13160≈114.7170。

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