函数y=√x(14x+25/x)的图像

本文主要介绍根式分式复合函数的定义域、值域、单调和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间，画出y=√x(14x+25/x)的图像。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对25/x有x≠0.∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、※.函数的单调性

∵y=√x(14x+25/x)

=14x^(3/2)+25x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*14x^(1/2)-(25/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*14x²-25).

令dy/dx=0,则x²=25/42.

又因为x>0，则x=(5/42)√42≈0.77.

(1)当x∈(0, (5/42)√42)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(5/42)√42,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

3、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*14x²-25)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*14x²-25)+3*14x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*14x²-25)+3*14x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*14x²-25-4*14x²)

=3/4x^(-5/2)(14x²+25)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

4、※.函数的极限

Lim(x→0) √x(14x+25/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(14x+25/x)=+∞。

5、综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，函数的示意图如下：

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