介绍函数y=3x⁴-x²+8的定义域、值域、单调性、奇偶性、极限和凸凹性，并通过函数的导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间。
方法/步骤
1、函数的定义域：
根据函数的特征，函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）。
2、函数的值域：
因为y=3x⁴-x²+8，则：
3x⁴-x²+8-y=0,对x²的二次方程有解，则：
判别式△=4-12(8-y)≥0，即：
12y≥96-4，解得y≥23/3.
故函数的值域为：[23/3,+∞]。
3、函数的单调性：
∵y=3x⁴-x²+8,
∴dy/dx=12x³-4x,令dy/dx=0,则：
12x³-4x=0,
x(6x²-2)=0,即x1=0，或者x²=1/3.
进一步求出：
x1=-√3/3,x2=0,x3=√3/3,
三个点将实数区间分成四个小区间，则：
4、(1)当x∈(-∞,-√3/3],(0,√3/3)时，
dy/dx<0,则此时函数为减函数，该区间为减区间。
(2)当x∈[-√3/3],[√3/3,+∞)时，
dy/dx>0,则此时函数为增函数，该区间为增区间。
通过单调性性可知：
当x0=±√3/3时，函数y有最小值：
ymin=f(±√3/3)
=3*(±√3/3)⁴-2*(±√3/3)²+8
=23/3.
5、函数的奇偶性：
∵f(x)=y=3x⁴-x²+8,
∴f(-x)=3*(-x)²-(-x)²+8
=3x⁴-x²+8=f(x).
即函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称。
6、函数的极限：
lim（x→0）3x⁴-x²+8=8;
lim（x→-∞）3x⁴-x²+8=+∞;
lim（x→+∞）3x⁴-x²+8=+∞.
7、函数的凸凹性
∵dy/dx=12x³-4x,
∴d²y/dx²=36x²-4,令d²y/dx²=0，则：
x²=1/9,求出x1=-1/3,
x2=1/3;则：
(1)当x∈(-∞,-1/3),(1/3,+∞)时，
d²y/dx²>0,则此时函数为凹函数，该区间为凹区间。
(2)当x∈[-1/3,1/3]时，
d²y/dx²<0,则此时函数为凸函数，该区间为凸区间。
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