本文主要介绍正弦函数的四则复合函数y=sin^2x-10sinx+1的定义域、值域、单调性和凸凹性等性质。
方法/步骤
1、函数定义域：由于函数为正弦函数的四则复合函数，根据函数特征，函数的自变量x可以取任意实数，所以函数的定义域为：（-∞，+∞）。
2、函数的单调性及值域：
∵y=sin^2x-10sinx+1,
∴y=(sin^2x-10sinx)+1
=(sin^2x-10sinx+25)-24.
=(sinx-5)^2-24，由于|sinx|≤1，可知，
3、函数在定义域上为减函数。其值域如下：
(1)当sinx=1时，y有最小值，即：
ymin=(1-5)^2-24=-8。
或者直接代入函数有ymin=1-10+1=-8。
(2)当sinx=-1时，y有最大值，即：
ymax=(-1-5)^2-24=12。
或者直接代入函数有ymax=1+10+1=12。
即函数的值域为：[-8,12]。
4、函数的凸凹性：
∵y=sin^2x-10sinx+1，
∴dy/dx=2sinxcosx-10cosx,
d^2y/dx^2=2cosxcosx-2sinxsinx+10sinx
=2cos^2x-2sin^2x+10sinx
=2(1-sin^2x)-2sin^2x+10sinx
=-4sin^2x+10sinx+2
=-4(sin^2x-5sinx/2)+2
=-4(sin^2x-5sinx/2+25/16)+2+25/4
=-4(sinx-5/4)^2+33/4,可知:
5、当sinx=5/4时，d^2y/dx^2有最大值，且：
(d^2y/dx^2)max=33/4;
当sinx=-1时，d^2y/dx^2有最小值，且：
(d^2y/dx^2)min=-12。
所以(d^2y/dx^2)的取值范围为：[-12/1,33/4]。
令d^2y/dx^2=0时，则4(sinx-5/4)^2=33/4，此时有：
sinx=5/4±√33/4,
即sinx≈-0.19或sinx≈2.69＞1,后者舍去。
综上可知，函数y的凸凹性如下：
(1)当sinx∈[-1,-0.19]时，d^2y/dx^2＜0，此时函数为减函数；
(2)当sinx∈(-0.19,1]时，d^2y/dx^2≥0，此时函数为增函数。
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