函数y=√x(8x+107.x)的图像示意图

本文主要介绍根式分式复合函数y=√x(8x+107.x)的定义域、值域、单调和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间，画出y=√x(8x+107.x)的图像示意图。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对107/x有x≠0.

∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、※.函数的单调性

∵y=√x(8x+107/x)

=8x^(3/2)+107x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*8x^(1/2)-(107/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*8x²-107).

令dy/dx=0,则x²=107/24.

又因为x>0，则x=(1/12)√642≈2.11.

(1)当x∈(0, (1/12)√642)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(1/12)√642,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

3、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*8x²-107)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*8x²-107)+3*8x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*8x²-107)+3*8x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*8x²-107-4*8x²)

=3/4x^(-5/2)(8x²+107)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

4、※.函数y=√x(8x+107.x)的极限

Lim(x→0) √x(8x+107/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(8x+107/x)=+∞。

5、综合以上函数y=√x(8x+107.x)的相关性质，结合函数y=√x(8x+107.x)的定义域，即可简要画出函数的示意图。

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