解析方程70x²+25y²+64z²=36的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵70x²+25y²+64z²=36,

∴140xdx+50ydy+128zdz=0，即：

64zdz=-70xdx-25ydy,

dz=-35xdx/32z-25ydy/64z，所以：

dz/dx=-35x/32z，dz/dy=-25y/64z。

2、直接求导法：

70x²+25y²+64z²=36,

对方程方程两边同时对x求导，得：

140x+0+128zdz/dx=0

64zdz/dx=-70x，即：dz/dx=-35x/32z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+50y+128zdz/dy=0

64zdz/dy=-25y，即：dz/dy=-25y/64z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=70x²+25y²+64z²-36，则：

Fz=128z，Fx=140x，Fy=50y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-140x/128z=-35x/32z;

dz/dy=-Fy/Fz=-50y/128z=-25y/64z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-35x/32z，

∴∂²z/∂²x=-35/32*(z+xdz/dx)/z²

=-35/32*(z+35x²/32z)/z²

=-35/1024*(32z²+35x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-25y/64z.

∴∂²z/∂²y=-25/64*(z+ydz/dy)/z²

=-25/64*(z+25y²/64z)/z²

=-25/4096*(64z²+25y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-35x/32z，dz/dy=-25y/64z.

∴∂²z/∂x∂y =35/32*(xdz/dy)/z²

=35/32*(-25xy/64z)/z²

=-875/2048*xy/z³.

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