计算椭球88x²+5y²+46z²=9的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵88x²+5y²+46z²=9,

∴176xdx+10ydy+92zdz=0，即：

46zdz=-88xdx-5ydy,

dz=-44xdx/23z-5ydy/46z，所以：

dz/dx=-44x/23z，dz/dy=-5y/46z。

2、直接求导法：

88x²+5y²+46z²=9,

对方程方程两边同时对x求导，得：

176x+0+92zdz/dx=0

46zdz/dx=-88x，即：dz/dx=-44x/23z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+10y+92zdz/dy=0

46zdz/dy=-5y，即：dz/dy=-5y/46z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=88x²+5y²+46z²-9，则：

Fz=92z，Fx=176x，Fy=10y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-176x/92z=-44x/23z;

dz/dy=-Fy/Fz=-10y/92z=-5y/46z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-44x/23z，

∴∂²z/∂²x=-44/23*(z+xdz/dx)/z²

=-44/23*(z+44x²/23z)/z²

=-44/529*(23z²+44x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-5y/46z.

∴∂²z/∂²y=-5/46*(z+ydz/dy)/z²

=-5/46*(z+5y²/46z)/z²

=-5/2116*(46z²+5y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-44x/23z，dz/dy=-5y/46z.

∴∂²z/∂x∂y =44/23*(xdz/dy)/z²

=44/23*(-5xy/46z)/z²

=-110/529*xy/z³.

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