计算√2359的近似值的几种方法

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式2359的近似值计算方法步骤。

方法/步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√2359=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√2304=48,

√2359=x,

√2401=49,用线性穿插得：

(2359-2304)/(2401-2359)=(x-48)/(49-x)

55(49-x)=42(x-48)

97x=4711

x=4711/97≈48.5670.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√2359-√2304=(2359-2304)/(2√2304)

√2359=√2304+55/(2*48)

√2359=48+55/96≈48.5729.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√2359=√(2304+55）

√2359=√[2304(1+55/2304）]

=48√(1+55/2304）

=48*[1+55/(2*2304)]

=48+55/96≈48.5729.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

5、

6、对于本题，x=2359，x₀=2304,x-x₀=55,代入得：

√2359

≈√2304+(55/2)*2304^(-1/2)-(1/8)*55²*2304^(-3/2)

≈48+(55/2)*48⁻¹-(1/8)*55²*48⁻³

≈48+55/96-55²/(8*48³)

即：√2359≈48.5695。

结论拓展分析：

1.本次近似计算以保留四位小数为主，从精确度来看，精确度最高的是泰勒展开式法，其次是线性穿插法。

2.所求的某个数a的算术平方根，由于与a相邻有两个可开方数，一般在近似计算中选取与之最近的一个可开方数。

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除