用导数等工具计算三次根式3√2036近似值的步骤

本文主要通过穿插法、微分法、导数法以及泰勒公式法，介绍计算三次根式3√2036近似值的主要步骤。

主要方法与步骤

1、设³√2036=x，并找与之最近的两个立方数，有：

³√1728=12,

³√2036=x,

³√2197=13,用线性穿插得：

(2036-1728)/(2197-2036)=(x-12)/(13-x)

308(13-x)=161(x-12)

469x=5936

x=848/67≈12.6567.

2、※.极限法计算近似值

原理：当x趋近无穷小时，有(1±x)a≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

³√2036=³√(2197-161）

³√2036=³√[2197(1-161/2197）]

=13*³√(1-161/2197）

=13*[1-161/(3*2197)]

=13-161/507

≈12.6824.

3、∵dy=f'(x)dx，f(x)=³√x，

∴dy=dx/(3*³√x²），

对于本题有：

³√2036-³√2197=(2036-2197)/(3*³√21972)

³√2036=³√2197-161/(3*132)

³√2036=13-161/507

≈12.6824.

4、∵f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)(x-x0)/1!+f”(x0)(x-x0)²/2!+O(x3)

∴f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f”(x0)(x-x0)²/2+O(x3)

其中O(x3)表示x的三次无穷小。

5、本题涉及幂函数y=f(x)=³√x,有：

f'(x)=(1/3)x-2/3,f”(x)=-(2/9)x-5/3。

即：

f(x)≈f(x0)+(1/3)x0-2/3*(x-x0)-(1/9)x0-5/3*(x-x0)²。

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