当0＜x＜1时,如何求函数y=x(1-7x)的最大值

     本文通过二次函数图像法、均值不等式法和函数导数法，介绍已知当0＜x＜1时，求函数y=x(1-7x)的最大值的主要步骤。

主要方法与步骤

1、本题所涉及二次函数y=x(1-7x)的图像示意图。

2、因为y=x(1-7x)，所以y=x-7x^2=-7x^2+x,

其对称轴x=b/2a=-1/2*(-7)=1/14∈(0,1),

该二次函数的开口向下，所以在对称轴处取得最大值，则：

ymax=f(1/14)

=(1/14)*(1-1/2)

=1/28.

3、由不等式ab≤(a+b)^2，a，b∈R+知：

y=x(1-7x)=1/7*7x(1-7x)

≤1/7*{[x+(1-7x)]/2}^2

=1/7*( 1/2)^2=1/28.

4、求出函数y=x(1-7x)的一阶导数，通过函数的一阶导数，判断函数的单调性，进而求出函数y=x(1-7x)的最大值。

5、∵y=x(1-7x)，∴y=1x-7x^2,对x求导有：

dy/dx=1-2*7x，令dy/dx=0,则：

1-2*7x=0，此时x=1/14，且有：

(1)    当x∈(0，1/14)时，dy/dx＞0，函数为增函数；

(2)    当x∈[1/14，1)时，dy/dx≤0，函数为减函数。

则当x= 1/14时，y取最大值，此时ymax=1/28。

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