不定积分17x³.√8-48x²的计算

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫17x³/√8-48x²dx的计算步骤。

方法/步骤

1、介绍通过分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，计算不定积分的详细过程与步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(17/48)[x(8-48x^2)-8x]dx/√(8-48x^2)

=-(17/48)∫x(8-48x^2)dx/√(8-48x^2)+ (17/6)∫xdx/√(8-48x^2)

=-(17/48)∫x√(8-48x^2)dx-(68/1)*1/48^2∫d(8-48x^2)/√(8-48x^2)

=-17*1/48^2∫√(8-48x^2)d(8-48x^2)- 136*1/48^2√(8-48x^2)

=(34/3) *1/48^2√(8-48x^2)^3-136*1/48^2*√(8-48x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=17∫x^2*xdx/√(8-48x^2)

   =-(17/96)∫x^2d(8-48x^2)/√(8-48x^2)

   =-(17/96)∫x^2d√(8-48x^2)=-(17/96)x^2√(8-48x^2)+(17/96) ∫√(8-48x^2)dx^2

   =-(17/96)x^2√(8-48x^2)-(17/2)*1/48^2∫√(8-48x^2)d(8-48x^2)

   =-(17/96)x^2√(8-48x^2)-(17/3)*1/48^2√(8-48x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(1/6)sint，则cost=(1/√8)√(8-48x^2),此时：

5、I=(136/48)*√(1/6)∫sin^3td[√(1/6)sint]/√(8-8sin^2t),

=17*(1/6)^2∫sin^3tcostdt/√8*cost,

=(136√8 /48^2)∫sin^3tdt,

=(136√8 /48^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(136√8 /48^2)∫sintdt-(136√8 /48^2)∫sintcos^2 tdt

=-(136√8 /48^2)cost+(136√8 /48^2)∫cos^2tdcost=-(136√8 /48^2)cost+(136√8 /3*48^2)cos^3t+c

 =-(136/48^2)√(8-48x^2)+(17/3)*(1/48^2)√(8-48x^2)^3+c. 

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