两种方法计算含有xy乘积的函数最小值举例F13

      本题主要考查配方法及导数的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值.

方法/步骤

1、      问题由来:若实数x,y满足W(x,y)=82x²-18xy+y²-52y+504x+914,则w的最小值是多少？

2、※.配方法求解

   运用配方法将W(x,y)=82x²-18xy+y²-52y+504x+914变形为W(x,y)=(ax+by+c)²+(dx+e)²-f形式，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．

  解：W(x,y)=82x²-18xy+y-52y²+504x+914

=81x²-18xy+y+468x-52y²+676+x²²+36x+324-86

=(9x-y)²+52(9x-y)+676+(x+18)²-86

=(9x-y+26)²+(x+18)²-86

3、∵x,y为实数，

∴(9x-y+26)²≥0，(x+18)²≥0,

此时x=-18，y=-136,

∴W的最小值为：Wmin=-86.

4、※.导数法求解

W(x,y)=82x²-18xy+y²-52y+504x+914，求出W分别对变量x,y的偏导数，由偏导数同时为0来求出多元函数W的最小值。

W|x’=164x-18y+504,

W|y’=-18x+2y-52;

令W|x’=W|y’=0，则：

18y-164x=504,

2y-18x=52.

5、解二元一次方程组，有：

x=-18,y=-136;

此时将x,y代入到W表达式中，有：

Wmin=W(-18,-136)

=82*(-18)²-18*(-18)*(-136)+(-136)²

²-52*(-136)+504*(-18)+914,

=26568-44064+18496–7072+(-9072)+914,

=-86.

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