详细画函数y=√x(81x+53.x)的图像的过程步骤

本文主要介绍根式分式复合函数的定义域、值域、单调和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间，画出y=√x(81x+53/x)的图像。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对53/x有x≠0.∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。换句话说，定义域是函数中x的允许值的集合。

3、※.函数的单调性

∵y=√x(81x+53/x)

=81x^(3/2)+53x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*81x^(1/2)-(53/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*81x²-53).

令dy/dx=0,则x²=53/243.

又因为x>0，则x=(1/27)√159≈0.47.

(1)当x∈(0, (1/27)√159)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(1/27)√159,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

4、函数的单调性是函数的重要性质，反映了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在解决比较大小、解决函数图像、值域、最值、不等式问题都有很重要的作用。

5、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*81x²-53)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*81x²-53)+3*81x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*81x²-53)+3*81x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*81x²-53-4*81x²)

=3/4x^(-5/2)(81x²+53)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

6、  二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y’=f'(x)仍然是x的函数，则y’=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。

7、※.函数的极限

Lim(x→0) √x(81x+53/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(81x+53/x)=+∞。

8、综合以上函数的性质，函数的示意图如下：

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