不定积分32x³/√73-75x²的计算详细步骤

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫32x³/√73-75x²dx的计算步骤。

方法/步骤

1、介绍通过分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，计算不定积分的详细过程与步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(32/75)[x(73-75x^2)-73x]dx/√(73-75x^2)

=-(32/75)∫x(73-75x^2)dx/√(73-75x^2)+ (2336/75)∫xdx/√(73-75x^2)

=-(32/75)∫x√(73-75x^2)dx-1168*1/75^2∫d(73-75x^2)/√(73-75x^2)

=-16 *1/75^2∫√(73-75x^2)d(73-75x^2)- 2336*1/75^2√(73-75x^2)

=(32/3) *1/75^2√(73-75x^2)^3-2336*1/75^2*√(73-75x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

 蚊册斤 I=32∫x^2*xdx/√(73-75x^2)

   =-(16/75)∫x^2d(73-75x^2)/√(73-75x^2)

   =-(16/75)∫x^2d√(73-75x^2)=-(16/75)x^2√(73-75x^2)+(16/75) ∫√(73-75x^2)dx^2

   =-(16/75)x^2√(73-75x^2)-16*1/75^2∫√(73-75x^2)d(73-75x^2)

   =-(16/75)x^2√(73-75x^2)-(32/3)*1/75^2√(73-75x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关侮八系，进行三角换元积分求得。

设x=√(73/75)sint，则cost=(1/√73)√(73-75x^2),此时爹歌：

I=(2336/75)*√(73/75)∫sin^3td[√(73/75)sint]/√(73-73sin^2t),

=32*(73/75)^2∫sin^3tcostdt/√73*cost,

=(2336√73 /75^2)∫sin^3tdt,

=(2336√73 /75^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(2336√73 /75^2)∫sintdt-(2336√73 /75^2)∫sintcos^2 tdt

=-(2336√73 /75^2)cost+(2336√73 /75^2)∫cos^2tdcost=-(2336√73 /75^2)cost+(2336√73 /3*75^2)cos^3t+c

=-(2336/75^2)√(73-75x^2)+(32/3)*(1/75^2)√(73-75x^2)^3+c. 

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