不定积分∫(x-2)dx/(x^3-1)的计算

本文通过分母因式分解及积分函数裂项等方面，以及对数函数、反正切函数等的导数公式等知识，介绍计算∫(x-2)dx/(x^3-1)的主要步骤。

方法/步骤

1、※.积分函数的变形

因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),

所以∫(x-2)dx/(x^3-1)=∫(x-2)dx/[(x-1)(x^2+x+1)],

设(x-2)/[(x-1)(x^2+x+1)]=m/(x-1)-(mx+n)/(x^2+x+1),则有：

x-2=m(x^2+x+1)-(mx+n)(x-1)=-(2m+n)x+m-n,

2、根据对应项系数相等，有：

2m-n=1,

m+n=-2，

解该二元一次方程可得：m=-1/3,n=-5/3.

此时不定积分变形为：

∫(x-2)dx/(x^3+1)

=(1/3)*-1∫dx/(x-1)-(1/3)∫(-x-5)dx/(x^2+x+1)。

3、※.函数积分具体计算：

对∫dx/(x-1)=∫d(x-1)/(x-1)=ln|x-1|;.

对∫(-x-5)dx/(x^2+x+1)

=1/2*∫[-1 (2x+1)-4]dx/(x^2+x+1)

=1/2*-1∫(2x+1)dx/(x^2+x+1)- 1/2* 4∫dx/(x^2+x+1)

=1/2*-1∫d(x^2+x+1)/(x^2+x+1)- 1/2* 4∫dx/[(x+1/2)^2+3/4],

=1/2*-1*ln(x^2+x+1)-1/2*4*4/3*∫dx/[4/3(x+1/2)^2+1],

=1/2*-1*ln(x^2+x+1)-1/2*4*2/√3*∫d[2/√3(x+1/2)]/{[2/√3(x+1/2)]^2+1},

=1/2*-1*ln(x^2+x+1)-4/√3*arctan[2/√3(x+1/2)],

4、所以：

∫(x-2) dx/(x^3-1)

=(1/3)*-1* ln|x-1|-(1/3)*-1*ln√(x^2+x+1)+ (1/3)*4/√3*arctan[2/√3(x+1/2)]+C，

=(1/3)*-1*ln|(x-1)/√(x^2+x+1)|+ (1/3)*4/√3*arctan[2/√3(x+1/2)]+C。

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除