隐函数90x²+52y²+37z²=68的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数90x²+52y²+37z²=68的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵90x²+52y²+37z²=68,

∴180xdx+104ydy+74zdz=0，即：

37zdz=-90xdx-52ydy,

dz=-90xdx/37z-52ydy/37z，所以：

dz/dx=-90x/37z，dz/dy=-52y/37z。

2、直接求导法：

90x²+52y²+37z²=68,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

180x+0+74zdz/dx=0

37zdz/dx=-90x，即：dz/dx=-90x/37z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+104y+74zdz/dy=0

37zdz/dy=-52y，即：dz/dy=-52y/37z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=90x²+52y²+37z²-68，则：

Fz=74z，Fx=180x，Fy=104y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-180x/74z=-90x/37z;

dz/dy=-Fy/Fz=-104y/74z=-52y/37z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-90x/37z，

∴∂²z/∂²x=-90/37*(z+xdz/dx)/z²

=-90/37*(z+90x²/37z)/z²

=-90/1369*(37z²+90x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-52y/37z.

∴∂²z/∂²y=-52/37*(z+ydz/dy)/z²

=-52/37*(z+52y²/37z)/z²

=-52/1369*(37z²+52y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-90x/37z，dz/dy=-52y/37z.

∴∂²z/∂x∂y =90/37*(xdz/dy)/z²

=90/37*(-52xy/37z)/z²

=-4680/1369*xy/z³.

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