隐函数83x²+87y²+79z²=47的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数83x²+87y²+79z²=47的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵83x²+87y²+79z²=47,

∴166xdx+174ydy+158zdz=0，即：

79zdz=-83xdx-87ydy,

dz=-83xdx/79z-87ydy/79z，所以：

dz/dx=-83x/79z，dz/dy=-87y/79z。

2、直接求导法：

83x²+87y²+79z²=47,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

166x+0+158zdz/dx=0

79zdz/dx=-83x，即：dz/dx=-83x/79z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+174y+158zdz/dy=0

79zdz/dy=-87y，即：dz/dy=-87y/79z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=83x²+87y²+79z²-47，则：

Fz=158z，Fx=166x，Fy=174y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-166x/158z=-83x/79z;

dz/dy=-Fy/Fz=-174y/158z=-87y/79z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-83x/79z，

∴∂²z/∂²x=-83/79*(z+xdz/dx)/z²

=-83/79*(z+83x²/79z)/z²

=-83/6241*(79z²+83x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-87y/79z.

∴∂²z/∂²y=-87/79*(z+ydz/dy)/z²

=-87/79*(z+87y²/79z)/z²

=-87/6241*(79z²+87y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-83x/79z，dz/dy=-87y/79z.

∴∂²z/∂x∂y =83/79*(xdz/dy)/z²

=83/79*(-87xy/79z)/z²

=-7221/6241*xy/z³.

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