隐函数42x²+7y²+77z²=90的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数42x²+7y²+77z²=90的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵42x²+7y²+77z²=90,

∴84xdx+14ydy+154zdz=0，即：

77zdz=-42xdx-7ydy,

dz=-6xdx/11z-1ydy/11z，所以：

dz/dx=-6x/11z，dz/dy=-1y/11z。

2、直接求导法：

42x²+7y²+77z²=90,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

84x+0+154zdz/dx=0

77zdz/dx=-42x，即：dz/dx=-6x/11z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+14y+154zdz/dy=0

77zdz/dy=-7y，即：dz/dy=-1y/11z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=42x²+7y²+77z²-90，则：

Fz=154z，Fx=84x，Fy=14y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-84x/154z=-6x/11z;

dz/dy=-Fy/Fz=-14y/154z=-1y/11z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-6x/11z，

∴∂²z/∂²x=-6/11*(z+xdz/dx)/z²

=-6/11*(z+6x²/11z)/z²

=-6/121*(11z²+6x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-1y/11z.

∴∂²z/∂²y=-1/11*(z+ydz/dy)/z²

=-1/11*(z+1y²/11z)/z²

=-1/121*(11z²+1y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-6x/11z，dz/dy=-1y/11z.

∴∂²z/∂x∂y =6/11*(xdz/dy)/z²

=6/11*(-1xy/11z)/z²

=-6/121*xy/z³.

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