已知x²+y²=11,求x+y和xy最值步骤方法

本文通过介绍三种方法计算已知条件下x+y最值的方法步骤，以及四种方法计算xy最值的方法步骤

求x+y的最值问题

1、思路一：设x+y=k，代入已知方程，得到关于x的一元二次方程，方程有实数根，则有判别式≥0,求得k的取值范围。

x²+(k-x)²=11

x²+k²-2kx+x²=11

2x²-2kx+k²-11=0

判别式△=4k²-8(k²-11)≥0

-4k²≥-8*11

k²≤22，即：-√22≤k≤√22.

所以x+y的最大值为√22，最大值为-√22。

2、思路二：利用三角函数换元，求得x+y的最大值。

由x²+y²=11，设x=√11cost，y=√11sint，则：

x+y=√11cost+√11sint

=√22(sint+π/4).

当(sint+π/4)=1时，x+y有最大值=√22；

当(sint+π/4)=-1时，x+y有最小值=-√22；

3、思路三：不等式法

∵x²+y²≥[(x+y)²]/2

∴(x+y)²≤2(x²+y²)

即：

(x+y)²≤22，则：

-√22≤x+y≤√22.

此时x+y的最小值=-√22，最大值=√22。

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