计算求I=∫19x^3/√(4-2x^2)dx不定积分详细步骤

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分的计算步骤。

方法/步骤

1、主要内容：本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫19x^3/√(4-2x^2)dx的计算步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(19/2)[x(4-2x^2)-4x]dx/√(4-2x^2)

=-(19/2)∫x(4-2x^2)dx/√(4-2x^2)+ (38/1)∫xdx/√(4-2x^2)

=-(19/2)∫x√(4-2x^2)dx-(38/1)*1/2^2∫d(4-2x^2)/√(4-2x^2)

=-(19/1) *1/2^2∫√(4-2x^2)d(4-2x^2)- (76/1)*1/2^2√(4-2x^2)

=(38/3) *1/2^2√(4-2x^2)^3-(76/1) *1/2^2*√(4-2x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=19∫x^2*xdx/√(4-2x^2)

   =-(19/4)∫x^2d(4-2x^2)/√(4-2x^2)

   =-(19/4)∫x^2d√(4-2x^2)=-(19/4)x^2√(4-2x^2)+(19/4) ∫√(4-2x^2)dx^2

   =-(19/4)x^2√(4-2x^2)-(19/2)*1/2^2∫√(4-2x^2)d(4-2x^2)

   =-(19/4)x^2√(4-2x^2)-(19/3)*1/2^2√(4-2x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(2/1)sint，则cost=(1/√4)√(4-2x^2),此时：

I=(76/2)*√(2/1)∫sin^3td[√(2/1)sint]/√(4-4sin^2t),

=19*(2/1)^2∫sin^3tcostdt/√4*cost,

=(76√4 /2^2)∫sin^3tdt,

5、=(76√4 /2^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(76√4 /2^2)∫sintdt-(76√4 /2^2)∫sintcos^2 tdt

=-(76√4 /2^2)cost+(76√4 /2^2)∫cos^2tdcost=-(76√4 /2^2)cost+(76√4 /3*2^2)cos^3t+c

 =-(76/2^2)√(4-2x^2)+(19/3)*(1/2^2)√(4-2x^2)^3+c. 

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