求I=∫49x^3/√(25-3x^2)dx不定积分

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分的计算步骤。

方法/步骤

1、主要内容：本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫49x^3/√(25-3x^2)dx的计算步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(49/3)[x(25-3x^2)-25x]dx/√(25-3x^2)

=-(49/3)∫x(25-3x^2)dx/√(25-3x^2)+ (1225/3)∫xdx/√(25-3x^2)

=-(49/3)∫x√(25-3x^2)dx-(1225/2)*1/3^2∫d(25-3x^2)/√(25-3x^2)

=-(49/1) *1/3^2∫√(25-3x^2)d(25-3x^2)- (1225/1)*1/3^2√(25-3x^2)

=(98/3) *1/3^2√(25-3x^2)^3-(1225/1) *1/3^2*√(25-3x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=49∫x^2*xdx/√(25-3x^2)

   =-(49/6)∫x^2d(25-3x^2)/√(25-3x^2)

   =-(49/6)∫x^2d√(25-3x^2)=-(49/6)x^2√(25-3x^2)+(49/6) ∫√(25-3x^2)dx^2

   =-(49/6)x^2√(25-3x^2)-(49/2)*1/3^2∫√(25-3x^2)d(25-3x^2)

   =-(49/6)x^2√(25-3x^2)-(49/3)*1/3^2√(25-3x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(25/3)sint，则cost=(1/√25)√(25-3x^2),此时：

I=(1225/3)*√(25/3)∫sin^3td[√(25/3)sint]/√(25-25sin^2t),

=49*(25/3)^2∫sin^3tcostdt/√25*cost,

=(1225√25 /3^2)∫sin^3tdt,

5、=(1225√25 /3^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(1225√25 /3^2)∫sintdt-(1225√25 /3^2)∫sintcos^2 tdt

=-(1225√25 /3^2)cost+(1225√25 /3^2)∫cos^2tdcost=-(1225√25 /3^2)cost+(1225√25 /3*3^2)cos^3t+c

 =-(1225/3^2)√(25-3x^2)+(49/3)*(1/3^2)√(25-3x^2)^3+c.

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