曲线4y²-4xy+5=0的性质及图像示意图

     本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性等性质，介绍函数用导数工具画隐函数4y²-4xy+5=0的图像的主要步骤。

主要方法与步骤

1、将方程变形成y的二次方程，二次方程有解则判别式为非负数，进而求解出函数4y²-4xy+5=0的定义域。

2、设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A–B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。

3、函数的单调性，求出函数的一阶导数，此时导数表达式中既含有自变量x，也含有因变量4y²-4xy+5=0。

4、函数的单调性也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性。

5、将变量进行变形，得解析以y表示的一阶导数的表达式，进一步可判断函数4y²-4xy+5=0的单调性。

6、如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

7、计算出函数的二阶导数，判断函数的二阶导数符号，即可解析函数4y²-4xy+5=0的凸凹性。

8、如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f”(x)<=0。

9、以函数4y²-4xy+5=0的定义域以及单调、凸凹性，列举函数上部分点，以y对应求出x坐标，如下图所示。

10、将五点图进行变化，调整为以x表示为y。

11、根据以上函数的定义域、单调性、凸凹性等性质，并结合函数的单调区间和凸凹区间，函数4y²-4xy+5=0的示意图如下：

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