如何用导数画三次函数y=5x^3-4x的图像?

    本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限和奇偶性等性质，介绍函数用导数工具画函数y=5x^3-4x的图像的主要步骤。

主要方法与步骤

1、     根据函数特征，函数y=5x^3-4x自变量可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。

2、形如y=f(x)，则x是自变量，它代表着函数图像上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表，它可以由f(x)的解析式决定。

3、计算函数y=5x^3-4x的一阶导数，求出函数驻点，根据导数与单调性关系，判断函数的单调性，并得到函数的单调区间。

4、计算函数y=5x^3-4x的二次导数，求出函数的拐点，判定函数图像的凸凹性，进而求出函数的凸凹区间。

5、 如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f”(x)0恒成立，那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图像都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

6、对于本题，主要是在正无穷处和负无穷处的极限，即求出函数y=5x^3-4x在无穷处的极限。

7、   函数的极限是数学中的一个概念，它描述了当函数自变量接近某个值时，函数值的演变趋势。具体来说，如果当x趋近于x0（或者无穷大）时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，那么就说A是函数f(x)在x趋近于x0（或者无穷大）时的极限。

       函数的极限可以用数学式子表示为：lim f(x) = A，其中x->x0表示x趋近于x0。这个数学式子意味着当x越来越接近x0时，f(x)的值越来越接近A。

8、根据函数y=5x^3-4x的奇偶性的判断方法，对于本题由于f(-x)=-f(x),所以函数为奇函数，函数图像关于原点对称，主要判断过程如下图所示：

9、根据函数定义域和单调性，解析函数y=5x^3-4x的五点图表。

10、 综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，以及根据函数的单调区间和凸凹区间，则函数y=5x^3-4x的图像示意图如下：

11、导数也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。

12、导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

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