高中数学复数专题例题8道详细解析步骤I15

高中数学复数专项练习题，其中含5道单选题、1道多选题、1道填空题和1道计算题详细步骤解析。

方法/步骤

1、单项选择题：若复数z=(46+14i)/(7+ai)为纯虚数，则实数a的值为：（  ）。

A. 7    B. 23  C. -7   D.-23

解题过程：本题主要考察纯虚数概念，纯虚数是实部为0，虚部不为0的复数。对于本题，对复数z进行分母有理化有：

z=(46+14i)/(7+ai)

= (46+14i) (7-ai)/[(7+ai) (7-ai)]

=(46+14i) (7-ai)/(7²+a²)

=[(322-14a)+(98-46a)i]/(7²+a²),

则322-14a=0，即a=23,故选择答案B.

2、单项选择题：若复数z=79+i2079,则其共轭复数在复平面上对应点所在的象限为：(    )，

A.第一象限    B.第二象限   C.第三象限    D.第四象限

解题过程：复数所在复平面上所对应点的象限分析，取决于该复数实部与虚部的符号。本题z=79+i2079=79-i，则对应的共轭复数为：79+i，可知实部=79＞0，虚部=1＞0，所以该共轭复数对应的点在第第一象限象限，即选择答案A.

3、单项选择题：复平面内，复数z对应的点的坐标是(-51,17)，则z的共轭复数为：(  )。

A. 51+17i  B.51-17i  C.-51+17i  D.-51-17i.

解题过程：本题主要考察的是共轭复数的概念，z与其共轭复数的实部相等，虚部互为相反数。根据本题题意，可知z=-51+17i，所以共轭复数为：-51-17i，即选择D.

4、多项选择题：已知复数z满足z(√3+i)=-2i，z*表示z的共轭虚数，则下列正确的选项是：（AD）。

A.|z|=1，   B.z的虚部为√3/2

C.z²+1=0  D.z²=z*

解题思路：根据题意z=-2i/(√3+i)=-2i(√3-i)/4=-i(√3-i)/2=(-1-√3i)/2，则|z|=(1/2)²+(√3/2)²=1,故答案A正确。

对于答案B,因为z的虚部=-√3/2，所以B错误。

根据题意有：z²=[(-1-√3i)/2]²=(-2+2√3i)/4=(-1+√3i)/2，则z²+1=(-1+√3i)/2+1=(1+√3i)/2≠0，所以答案C错误。对于答案D,有z的共轭复数z*=(-1+√3i)/2，刚好与z²相等，故正确，综上本题选择答案A和D.

5、计算题：设a,b为共轭复数，且(a+b)²-4abi=81-106i，求复数a，b。

解：根据题意，设a=x+yi，b=x-yi，则：

a+b=x+yi+x-yi=2x,

ab=(x+yi)(x-yi)=x²+y²;

代入已知式有：

(2x)²-4*(x²+y²)i=81-106i，则：

81=4x²，且4(x²+y²)=106,

可求出x=±9/2.

进一步由题目条件有：4*(81/4+ y²)=106,

y²=106/4-81/4=25/4,

可求出y=±5/2,

所以：a=9/2+5i/2，b=9/2-5i/2；

或者：a=-9/2+5i/2，b=-9/2-5i/2；

或者：a=9/2-5i/2，b=9/2+5i/2；

或者：a=-9/2-5i/2，b=-9/2+5i/2。

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