四种方法计算√14293的近似值步骤

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

方法/步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√14293=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√14161=119,

√14293=x,

√14400=120,用线性穿插得：

(14293-14161)/(14400-14293)=(x-119)/(120-x)

132(120-x)=107(x-119)

239x=28573

x=28573/239≈119.5523.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√14293-√14161=(14293-14161)/(2√14161)

√14293=√14161+132/(2*119)

√14293=119+66/119≈119.5546.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√14293=√(14161+132）

√14293=√[14161(1+132/14161）]

=119√(1+132/14161）

=119*[1+132/(2*14161)]

=119+66/119≈119.5546.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

对于本题，x=14293，x₀=14161,x-x₀=132,代入得：

√14293

≈√14161+66*14161^(-1/2)-(1/8)*132²*14161^(-3/2)

≈119+66*119⁻¹-(1/8)*132²*119⁻³

≈119+66/119-132²/(8*119³)

即：√14293≈119.5533。

6、结论拓展分析：

1.本次近似计算以保留四位小数为主，从精确度来看，精确度最高的是泰勒展开式法，其次是线性穿插法。

7、2.所求的某个数a的算术平方根，由于与a相邻有两个可开方数，一般在近似计算中选取与之最近的一个可开方数。

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