函数y=√x(2x+23.x)的图像

本文主要介绍根式分式复合函数的定义域、值域、单调和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间，画出y=√x(2x+23/x)的图像。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对23/x有x≠0.∴函数的定义域为：(0，+∞）速案。

2、定义域是指该函数的有效范围，函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。

3、※.函数的单调性

∵y=√x(2x+23/x)

=2x^(3/2)+23x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*2x^(1/2)-(23/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*2x²-23).

令dy/dx=0,则x²=23/6.

又因为x>0，则x=(1/6)√138≈1.96.

(1)当x∈(0, (1/6)√138)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(1/6)√138,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

4、函数的单调性是函数的重要性质，反映了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在解决比较大小、解决函数图像、值域、最值、不等式问题都有很重要的作用。

5、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*2x²-23)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*2x²-23)+3*2x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*2x²-23)+3*2x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*2x²-23-4*2x²)

=3/4x^(-5/2)(2x²+23)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

6、※.函数涛物处的极限

Lim(x→0) √x(2x+23/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(2x+23/x)=+∞。

7、综合腊互以上函数的性质，函数的示意图如下：

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