如何计算√11923的近似值?

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

主要方法步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√11923=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√11881=109,

√11923=x,

√12100=110,用线性穿插得：

(11923-11881)/(12100-11923)=(x-109)/(110-x)

42(110-x)=177(x-109)

219x=23913

x=7971/73≈109.1918.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√11923-√11881=(11923-11881)/(2√11881)

√11923=√11881+42/(2*109)

√11923=109+21/109≈109.1927.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√11923=√(11881+42）

√11923=√[11881(1+42/11881）]

=109√(1+42/11881）

=109*[1+42/(2*11881)]

=109+21/109≈109.1927.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

对于本题，x=11923，x₀=11881,x-x₀=42,代入得：

√11923

≈√11881+21*11881^(-1/2)-(1/8)*42²*11881^(-3/2)

≈109+21*109⁻¹-(1/8)*42²*109⁻³

≈109+21/109-42²/(8*109³)

即：√11923≈109.1925。

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