已知2a+38b=9,七种方法计算ab最大值详细步骤

      本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

方法/步骤

1、介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在2a+38b=9条件下的最大值。

2、根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(9/38-1/19*a)

=-1/19*a^2+9/38*a

=-1/19(a-9/4)^2+81/304，

则当a=9/4时，ab有最大值为81/304。

3、设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

2a+38b=9,

2a+38p/a=9,

2a^2-9a+38p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-304p≥0,即：

p≤81/304,

此时得ab=p的最大值=81/304。

4、将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由2a+38b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设2a=9(cost)^2，38b=9(sint)^2，则：

a=(cost)^2,b=9/38(sint)^2,代入得：

ab=(cost)^2*9/38(sint)^2,

=81/304*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=81/304。

5、设2a=9/2+t,38b=9/2-t，则：

a=(1/2)(9/2+t),b=(1/38)(9/2-t)

此时有：

ab=1/76*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/76*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤81/304,

则ab的最大值为81/304。

6、当a，b均为正数时，则：

∵2a+38b≥2√76*ab,

∴(2a+38b)^2≥304*ab,

81≥304*ab,

即：ab≤81/304,

则ab的最大值为81/304。

7、如图，设直线2a+38b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：                 

2a0+38b0=9,b0=a0tanθ,                   

2a0+38a0tanθ=9，得

a0=9/(2+38tanθ),                       

|a0*b0|=81*|tanθ|/(2+38tanθ)^2,

=81/[(4/|tanθ|)+152+1444|tanθ|]

≤81/(152+152)=81/304。

则ab的最大值=81/304.

8、设函数f(a,b)=ab-λ(2a+38b-9),

则偏导数f’a=b-2λ,f’b=a-38λ,

f’λ=2a+38b-9。

令f’a=f’b=f’λ=0，则：

b=2λ,a=38λ。进一步代入得：

76λ+76λ=9,即λ=9/152.

则有a=9/4,b=9/76.

ab的最大值=9/4*9/76=81/304。

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