函数43x^2+30y^2+76z^2=44的导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数43x^2+30y^2+76z^2=44的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵43x²+30y²+76z²=44,

∴86xdx+60ydy+152zdz=0，即：

76zdz=-43xdx-30ydy,

dz=-43xdx/76z-15ydy/38z，所以：

dz/dx=-43x/76z，dz/dy=-15y/38z。

2、直接求导法：

43x²+30y²+76z²=44,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

86x+0+152zdz/dx=0

76zdz/dx=-43x，即：dz/dx=-43x/76z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+60y+152zdz/dy=0

76zdz/dy=-30y，即：dz/dy=-15y/38z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=43x²+30y²+76z²-44，则：

Fz=152z，Fx=86x，Fy=60y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-86x/152z=-43x/76z;

dz/dy=-Fy/Fz=-60y/152z=-15y/38z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-43x/76z，

∴∂²z/∂²x=-43/76*(z+xdz/dx)/z²

=-43/76*(z+43x²/76z)/z²

=-43/5776*(76z²+43x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-15y/38z.

∴∂²z/∂²y=-15/38*(z+ydz/dy)/z²

=-15/38*(z+15y²/38z)/z²

=-15/1444*(38z²+15y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-43x/76z，dz/dy=-15y/38z.

∴∂²z/∂x∂y =43/76*(xdz/dy)/z²

=43/76*(-15xy/38z)/z²

=-645/2888*xy/z³.

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