详细介绍函数38x^2+17y^2+9z^2=50的导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数38x^2+17y^2+9z^2=50的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵38x²+17y²+9z²=50,

∴76xdx+34ydy+18zdz=0，即：

9zdz=-38xdx-17ydy,

dz=-38xdx/9z-17ydy/9z，所以：

dz/dx=-38x/9z，dz/dy=-17y/9z。

2、直接求导法：

38x²+17y²+9z²=50,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

76x+0+18zdz/dx=0

9zdz/dx=-38x，即：dz/dx=-38x/9z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+34y+18zdz/dy=0

9zdz/dy=-17y，即：dz/dy=-17y/9z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=38x²+17y²+9z²-50，则：

Fz=18z，Fx=76x，Fy=34y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-76x/18z=-38x/9z;

dz/dy=-Fy/Fz=-34y/18z=-17y/9z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-38x/9z，

∴∂²z/∂²x=-38/9*(z+xdz/dx)/z²

=-38/9*(z+38x²/9z)/z²

=-38/81*(9z²+38x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-17y/9z.

∴∂²z/∂²y=-17/9*(z+ydz/dy)/z²

=-17/9*(z+17y²/9z)/z²

=-17/81*(9z²+17y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-38x/9z，dz/dy=-17y/9z.

∴∂²z/∂x∂y =38/9*(xdz/dy)/z²

=38/9*(-17xy/9z)/z²

=-646/81*xy/z³.

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