已知x^2-y^2=92xy,求(x+y)/(x-y)的值

介绍通过正比例换元、中值换元、三角换元以及二次方程求根公式等方法，计算代数式(x+y)/(x-y）在x^2-y^2=92xy条件下具体值的步骤。

方法/步骤

1、思路一：正比例替换

设y=kx,代入已知条件有：

x^2-(kx)^2=92x*kx，

(1-k^2)x^2=92kx^2，

1-k^2=92k，则：

k^2+92k-1=0,由求根根式有：

k=(-92±2√2117)/2;

代数式=(x+kx)/(x-kx)=(1+k)/(1-k)

=(1±√2117)/46。

2、 

思路二：二次方程求根公式法

x^2-y^2=92xy,

y^2+92xy-x^2=0,将方程看成y的二次方程，

由求根公式有：

y=(-92±2√2117)x/2,代入代数式有：

代数式

=[x+(-92±2√2117)x/2]/[x-(-92±2√2117)x/2]

=(2-92±2√2117)/(2+92∓2√2117)

=(1±√2117)/46。

3、思路三：结论换元法

设(x+y)/(x-y)=k,则：

y=(k-1)x/(k+1)，

又x^2-y^2=92xy,将y代入已知条件有：

x^2-(k-1)^2*x^2/(k+1)^2=92*x*(k-1)x/(k+1)

(k+1)^2-(k-1)^2=92(k^2-1),

92k^2-4k-92=0,

k=(1±√2117)/46。

4、思路四：中值替换

设x+y=2m,x-y=2n,则x=m+n,y=m-n,

(m+n)^2-(m-n)^2=92*(m+n)(m-n)

2mm+2mn=92(m^2-n^2)

92m^2-4mn-92n^2=0,由二次方程求根公式有，

m=(2±2√2117)n/92。

则代数式=2m/2n

=m/n=(1±√2117)/46。

5、思路五：三角换元法

设x=cost,y=sint,则：

(cost)^2-(sint)^2=92*costsint,

2cos2t=92sin2t，即tan2t=1/46,

由万能公式有：

tan2t=2tant/(1-tan^2t)=1/46,即：

(tant)^2+92tant-1=0,

tant=(1±√2117)/46。

6、代数式

=(x+y)/(x-y)

=(cost+sint)/(cost-sint)

=(1+tant)/(1-tant)

=[1+(92±2√2117)/2]/[1-(92±2√2117)/2]

=(2+92±2√2117)/(2-92∓2√2117)

=(1±√2117)/46。

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