本文主要介绍函数y=√(3x+6)/(3x-1)的的定义域、单调性、凸凹性以及函数y=√(3x+6)/(3x-1)的的极限的性质。
方法/步骤
1、※.函数的定义域
根据根式和分式定义要求有：
(3x+6)/(3x-1)≥0且3x-1≠0；
即：-∞＜x≤-2，1/3＜x≤+∞，
则函数的定义域为：(-∞，-2]，(1/3，+∞）。
2、※.函数的单调性
∵y=√(3x+6)/(3x-1),
∴y’=(1/2)*[(3x+6)/(3x-1)]-1/2*
[3(3x-1)-3(3x+6)]/(3x-1)2,即：
y’=(-1/2)*[(3x+6)/(3x-1)]-1/2*21/(3x-1)2,
y’=-21/2*[(3x+6)/(3x-1)3]-1/2<0，
则函数y在定义域上为减函数。
3、※.函数的凸凹性
∵y’=-21/2*[(3x+6)/(3x-1)3]-1/2，
∴y”=-21/4*[(3x+6)/(3x-1)3]-3/2*
[3(3x-1)3-9(3x+6)(3x-1)2]/(3x-1)6,
即y”=-21/4*[(3x+6)/(3x-1)3]-3/2*
[3(3x-1)-9(3x+6)]/(3x-1)4,
=21/4*[(3x+6)/(3x-1)3]-3/2*(18x+57)/(3x-1)4,
4、
令y”=0，则18x+57=0，即x=-19/6.
则函数的凸凹性即凸凹区间如下：
(1).当x∈(-∞，-19/6]时，y”≤0，
此时函数y为凸函数；
(2).当x∈(-19/6,-2]，(1/3，+∞）时，
y”≥0，此时函数y为凹函数。
5、※.函数的极限
lim(x→1/3) √(3x+6)/(3x-1)=+∞；
lim(x→-2) √(3x+6)/(3x-1)=0；
lim(x→-∞) √(3x+6)/(3x-1)=1；
lim(x→+∞) √(3x+6)/(3x-1)=1.
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