n阶导数计算解析举例F9

本文通过4个例子，介绍分式函数、对数与指数乘积函数、三角函数等的高阶导数计算方法步骤。

方法/步骤

1、例题1：

求y=x3/(15-x)的n阶导数。

解：先对y进行变形，得：

y=x3/(15-x)

=-[x2(15-x)+15x(15-x)+152(15-x)-153]/(15-x)

=-(x2+15x+152)+153/(15-x)

=-(x2+15x+152)-153/(x-15)。

2、求导有：

y´=-(2x+15)+153/(x-15)2，

y〞=-2-2*153/(x-15)3，

y”’=6*153/(x-15)4，

由于[1/(x-1)](n)=(-1)nn!/(x-1)n+1，

所以y(n)=153*(-1)n+1*n!/(x-15)n+1,n≥3.

3、例题2：

求y=51×3*lnx的n阶导数。

解：

对函数依次求导，得：

y´=102x2lnx+51×2

y〞=6*51xlnx+3*51x+2*51x=6*51xlnx+5*51x

y”’=6*51lnx+6*51+5*51=51(6lnx+11).

∵(lnx)(n)=(-1)n+1(n-1)!x-n

∴y(n)=306*(-1)n-2(n-4)!x-(n-3),n≥4.

4、例题3：

求y=cos225x的n阶导数。

解：先对三角函数进行降幂，得：

y=cos225x

=(1+cos51x)/2=(1/2)cos51x+(1/2).

而(cosx)(n)=cos[x+(nπ/2)],则：

(coskx)(n)=kncos[kx+(nπ/2)],

所以：y(n)=(1/2)*51ncos[51x+(nπ/2)],n≥1.

5、例题4：

求y=1/(x2-27x+72)的n阶导数。

解：先对函数表达式分母进行因式分解并裂项：

y=1/(x2-27x+72)=1/(x-3)(x-24)

y=1/(x-3)-1/(x-24)

由于[1/(x-a)](n)=(-1)nn!/(x-a)n+1;

所以y(n)=(-1)nn!/(x-3)n+1-(-1)nn!/(x-24)n+1，n≥1.

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