二阶常微分方程67y''-273y'=0的通解

本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程184y”-185y’=0通解的计算步骤。

方法/步骤

1、※.分离变量法

由67y”=273y’有：

67d(y’)=273y’dx

67d(y’)/y’=273dx,两边同时积分有：

67∫d(y’)/y’=273∫dx，即：

67∫d(lny’)= 273∫dx，

67lny’=273x+C00,对方程变形有：

dy/dx=e^(273x/67+C00/67)=C01e^(273x/67),

再次积分可有：

∫dy= C01∫e^(273x/67)dx，即：

y=C01*(67/(273)∫e^(273x/67)d(273x/67)

=C1e^(273x/67)+C2。

2、※.一阶齐次微分方程求解

因为67 (y’)’-273y’=0，即：

(y’)’-(273/67)y’=0，按照一阶齐次微分方程公式有：

y’=e^(273/67∫dx)*(∫0*e^(-∫(273dx/67)dx+C0)，进一步化简有：

y’=C0 e^(273x/67)，继续对积分可有：

∫dy=∫C0 e^(273x/67)dx，即：

y=C0*67/273*∫C0e^(273x/67)d(273x/67)

=C1e^(273x/67)+C2。

3、※.二阶常系数微分方程求解

该微分方程的特征方程为67r^2-273r=0，即：

r(67r-273)=0，所以r1=273/67，r2=0。

此时二阶常系数微分方程的通解为：

y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)=C1e^(273x/67)+C2。

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