如何计算二阶常微分方程98y''-176y'=0的通解?

本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程通解的计算步骤。

方法/步骤

1、※.分离变量法

由98y”=176y’有：

98d(y’)=176y’dx

98d(y’)/y’=176dx,两边同时积分有：

98∫d(y’)/y’=176∫dx，即：

98∫d(lny’)= 176∫dx，

98lny’=176x+C00,对方程变形有：

dy/dx=e^(176x/98+C00/98)=C01e^(88x/49),

再次积分可有：

∫dy= C01∫e^(88x/49)dx，即：

y=C01*(49/(88)∫e^(88x/49)d(88x/49)

=C1e^(88x/49)+C2。

2、※.一阶齐次微分方程求解

因为98 (y’)’-176y’=0，即：

(y’)’-(176/98)y’=0，按照一阶齐次微分方程公式有：

y’=e^(88/49∫dx)*(∫0*e^(-∫(88dx/49)dx+C0)，进一步化简有：

y’=C0 e^(88x/49)，继续对积分可有：

∫dy=∫C0 e^(88x/49)dx，即：

y=C0*49/88*∫C0e^(88x/49)d(88x/49)

=C1e^(88x/49)+C2。

3、※.二阶常系数微分方程求解

该微分方程的特征方程为98r^2-176r=0，即：

r(98r-176)=0，所以r1=88/49，r2=0。

此时二阶常系数微分方程的通解为：

y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)=C1e^(88x/49)+C2。

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